高考双曲线(高考双曲线)

1

设圆心为O;

设双曲线方程为 x^2/a^2 - y^2/b^2=1; a^2+b^2=c^2; 离心率e=c/a;

由题意知:

该圆过点(c,±b√(e^2 -1) );

而且|a-c|=|y0|=|±b√(e^2 -1)|

→(a-c)^2=b^2·(e^2 -1);

→c^2 -2ac +a^2 = b^2·e^2 -b^2

→(c^2 +a^2 +b^2)=2ac +b^2·e^2

即 2c^2 =2ac +(c^2 -a^2)·e^2

两边同时除以a^2 得

2=2e +(e^2 -1)·e^2

e^4 -e^2 +2e -2 =0;

(e^4 -1) -(e-1)^2 =0;

(e^2 +1)(e+1)(e-1)-(e-1)^2 =0;

(e-1)[e^3+e^2+e+1-(e-1)]=0;

(e-1)(e^3+e^2+2)=0;

e>0,∴e^3+e^2+2＞0；

∴只能e=1.

离心率是1.

2

矩形的四个顶点到其中心(对角线交点)的距离相等;

则易知,无论折成什么角度,O到A,B,C,D四点的距离都是相等的;

等于半对角线长r=√(6^2 +8^2 )/2=5;

也就是说,过这四个顶点的球(即四面体的外接球)永远是以O为球心,以5为半径.

则球的表面积为

S=4π·r^2=100π.

3

将A,B两点的坐标代入式子

x^2/(a^2/2)+y^2/a^2 ,

使其都大于1,

得:

1^2/(a^2/2) + 2^2/a^2 ＞1→ a＜√6；

2^2/(a^2/2) + 3^2/a^2 ＞1→ a＜√17.

所以,a＜√17