三胞胎高考考出等差数列(求08年江苏数学高考试卷)
绝密★启用前
2008年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数 学
本试卷分第I卷(填空题)和第II卷(解答题)两部分.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的
准考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上.
2.选择题答案使用2B
铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择
题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.
4.保持卡面清洁,不折叠,不破损.
5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
参考公式:
样本数据 , , , 的标准差
其中 为样本平均数
柱体体积公式
其中 为底面积, 为高
一、填空题:本大题共1小题,每小题5分,共70分.
1. 的最小正周期为 ,其中 ,则 = ▲ .
解析本小题考查三角函数的周期公式.
答案10
2.一个骰子连续投2 次,点数和为4 的概率 ▲ .
解析本小题考查古典概型.基本事件共6×6 个,点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个,故
答案
3. 表示为 ,则 = ▲ .
解析本小题考查复数的除法运算.∵ ,∴ =0, =1,因此
答案1
4.A= ,则A Z 的元素的个数 ▲ .
解析本小题考查集合的运算和解一元二次不等式.由 得 ,∵Δ<0,∴集合A 为 ,因此A Z 的元素不存在.
答案0
5. , 的夹角为 , , 则 ▲ .
解析本小题考查向量的线性运算.
= , 7
答案7
6.在平面直角坐标系 中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域, E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域,向D 中随机投一点,则落入E 中的概率 ▲ .
解析本小题考查古典概型.如图:区域D 表示边长为4 的正方形的内部(含边界),区域E 表示单位圆及其内部,因此.
答案
7.算法与统计的题目
8.直线 是曲线 的一条切线,则实数b= ▲ .
解析本小题考查导数的几何意义、切线的求法. ,令 得 ,故切点(2,ln2),代入直线方程,得,所以b=ln2-1.
答案ln2-1
9在平面直角坐标系中,设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ,点P(0,p)在线段AO 上(异于端点),设a,b,c, p 均为非零实数,直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ,一同学已正确算的OE的方程: ,请你求OF的方程:
( ▲ ) .
解析本小题考查直线方程的求法.画草图,由对称性可猜想填 .事实上,由截距式可得直线AB: ,直线CP: ,两式相减得 ,显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程,又原点O 也满足此方程,故为所求直线OF 的方程.
答案
10.将全体正整数排成一个三角形数阵:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
. . . . . . .
按照以上排列的规律,第n 行(n ≥3)从左向右的第3 个数为 ▲ .
解析本小题考查归纳推理和等差数列求和公式.前n-1 行共有正整数1+2+…+(n-1)个,即 个,因此第n 行第3 个数是全体正整数中第 +3个,即为 .
答案
11.已知 , ,则 的最小值 ▲ .
解析本小题考查二元基本不等式的运用.由 得 ,代入 得
,当且仅当 =3 时取“=”.
答案3
12.在平面直角坐标系中,椭圆 1( 0)的焦距为2,以O为圆心, 为半径的圆,过点 作圆的两切线互相垂直,则离心率 = ▲ .
解析设切线PA、PB 互相垂直,又半径OA 垂直于PA,所以△OAP 是等腰直角三角形,故 ,解得 .
答案
13.若AB=2, AC= BC ,则 的最大值 ▲ . ?
解析本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想.设BC= ,则AC= ,
根据面积公式得 = ,根据余弦定理得
,代入上式得
=
由三角形三边关系有 解得 ,
故当 时取得 最大值
答案
14. 对于 总有 ≥0 成立,则 = ▲ .
解析本小题考查函数单调性的综合运用.若x=0,则不论 取何值, ≥0显然成立;当x>0 即 时, ≥0可化为,
设 ,则 , 所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,因此 ,从而 ≥4;
当x<0 即 时, ≥0可化为 ,
在区间 上单调递增,因此 ,从而 ≤4,综上 =4
答案4
二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.如图,在平面直角坐标系 中,以 轴为始边做两个锐角 , ,它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点,已知A,B 的横坐标分别为 .
(Ⅰ)求tan( )的值;
(Ⅱ)求 的值.
解析本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式.
由条件的 ,因为 , 为锐角,所以 =
因此
(Ⅰ)tan( )=
(Ⅱ) ,所以
∵ 为锐角,∴ ,∴ =
16.在四面体ABCD 中,CB= CD, AD⊥BD,且E ,F分别是AB,BD 的中点,
求证:(Ⅰ)直线EF ‖面ACD ;
(Ⅱ)面EFC⊥面BCD .
解析本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定.
(Ⅰ)∵ E,F 分别是AB,BD 的中点,
∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF‖AD,
∵EF 面ACD ,AD 面ACD ,∴直线EF‖面ACD .
(Ⅱ)∵ AD⊥BD ,EF‖AD,∴ EF⊥BD.
∵CB=CD, F 是BD的中点,∴CF⊥BD.
又EF CF=F,∴BD⊥面EFC.∵BD 面BCD,∴面EFC⊥面BCD .
17.某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处,已知AB=20km,
CB =10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界),且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP ,设排污管道的总长为 km.
(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式:
①设∠BAO= (rad),将 表示成 的函数关系式;
②设OP (km) ,将 表示成x 的函数关系式.
(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短.
解析本小题主要考查函数最值的应用.
(Ⅰ)①由条件知PQ 垂直平分AB,若∠BAO= (rad) ,则 , 故
,又OP= 10-10ta ,
所以 ,
所求函数关系式为
②若OP= (km) ,则OQ=10- ,所以OA =OB=
所求函数关系式为
(Ⅱ)选择函数模型①,
令 0 得sin ,因为 ,所以 = ,
当 时, , 是 的减函数;当 时, , 是 的增函数,所以当 = 时, 。这时点P 位于线段AB 的中垂线上,且距离AB 边
km处。
18.设平面直角坐标系 中,设二次函数 的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.求:
(Ⅰ)求实数b 的取值范围;
(Ⅱ)求圆C 的方程;
(Ⅲ)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)?请证明你的结论.
解析本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.
(Ⅰ)令 =0,得抛物线与 轴交点是(0,b);
令 ,由题意b≠0 且Δ>0,解得b<1 且b≠0.
(Ⅱ)设所求圆的一般方程为
令 =0 得 这与 =0 是同一个方程,故D=2,F= .
令 =0 得 =0,此方程有一个根为b,代入得出E=―b―1.
所以圆C 的方程为 .
(Ⅲ)圆C 必过定点(0,1)和(-2,1).
证明如下:将(0,1)代入圆C 的方程,得左边=0 +1 +2×0-(b+1)+b=0,右边=0,
所以圆C 必过定点(0,1).
同理可证圆C 必过定点(-2,1).
19.(Ⅰ)设 是各项均不为零的等差数列( ),且公差 ,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列:
①当n =4时,求 的数值;②求 的所有可能值;
(Ⅱ)求证:对于一个给定的正整数n(n≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列 ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.
解析本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用.
(Ⅰ)①当n=4 时, 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则推出d=0.
若删去 ,则有 即
化简得 =0,因为 ≠0,所以 =4 ;
若删去 ,则有 ,即 ,故得 =1.
综上 =1或-4.
②当n=5 时, 中同样不可能删去首项或末项.
若删去 ,则有 = ,即 .故得 =6 ;
若删去 ,则 = ,即 .
化简得3 =0,因为d≠0,所以也不能删去 ;
若删去 ,则有 = ,即 .故得 = 2 .
当n≥6 时,不存在这样的等差数列.事实上,在数列 , , ,…, , , 中,
由于不能删去首项或末项,若删去 ,则必有 = ,这与d≠0 矛盾;同样若删
去 也有 = ,这与d≠0 矛盾;若删去 ,…, 中任意一个,则必有
= ,这与d≠0 矛盾.
综上所述,n∈{4,5}.
(Ⅱ)略
20.若 , , 为常数,
且
(Ⅰ)求 对所有实数成立的充要条件(用 表示);
(Ⅱ)设 为两实数, 且 ,若
求证: 在区间 上的单调增区间的长度和为 (闭区间 的长度定义为 ).
解析本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用.
(Ⅰ) 恒成立
(*)
因为
所以,故只需 (*)恒成立
综上所述, 对所有实数成立的充要条件是:
(Ⅱ)1°如果 ,则的图象关于直线 对称.因为 ,所以区间 关于直线 对称.
因为减区间为 ,增区间为 ,所以单调增区间的长度和为
2°如果 .
(1)当 时. ,
当 , 因为 ,所以 ,
故 =
当 , 因为 ,所以
故 =
因为 ,所以 ,所以 即
当 时,令 ,则 ,所以 ,
当 时, ,所以 =
时, ,所以 =
在区间 上的单调增区间的长度和
=
(2)当 时. ,
当 , 因为 ,所以 ,
故 =
当 , 因为 ,所以
故 =
因为 ,所以 ,所以
当 时,令 ,则 ,所以 ,
当 时, ,所以 =
时, ,所以 =
在区间 上的单调增区间的长度和
=
综上得 在区间 上的单调增区间的长度和为
高中数学优质课件:《等差数列》
(1) 或 ;(2) |
试题分析:本题考查等差等比数列的概念、通项公式、前 项和公式、数列求和等基础知识,考查化归与转化思想、分类讨论思想,考查基本运算能力.第一问,将已知写成数学表达式,解方程得出 和 的值,利用等差数列的通项公式,直接写出即可;第二问,由于第一问得到了2个通项公式,所以分情况验证是否都符合题意,经检验, 符合题意,将 代入到 中,将它转化为分段函数,去掉绝对值,分情况求和: , , ,而 符合 的式子,所以总结得 试题解析:(1)设等差数列 的公差为 ,则 , , 由题意得: ,解得 或 , 所以由等差数列通项公式可得: 或 , 故 或 . (2)当 时, 分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当 时, 分别为-1,2,-4,成等差数列,满足条件. 故 . 记数列 的前 项和为 ,当 时, ;当 时, ; 当 时,
当 时,满足此式. 综上, ? |
#课件# 导语课件的选择要依据教学的内容、本人的教学风格、学生的理解和接受能力而定,以达到课堂教学效果化为准。好的课件像磁石,能把学生分散的思维一下子聚拢起来;好的课件又是思想的电光石火,能给学生以启迪,提高整个智力活动的积极性,为授课的成功奠定良好的基础。下面就由 无 为大家带来高中数学优质课件:《等差数列》,欢迎各位参考借鉴!
高中数学优质课件篇一:《等差数列》
教学目标
1.知识与技能
(1)理解等差数列的定义,会应用定义判断一个数列是否是等差数列:
(2)账务等差数列的通项公式及其推导过程:
(3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。
2.过程与方法
在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中,培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力,体验从特殊到一般,一般到特殊的认知规律,提高熟悉猜想和归纳的能力,渗透函数与方程的思想。
3.情感、态度与价值观
通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动,培养学生主动探索、用于发现的求知精神,激发学生的学习兴趣,让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中,使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。
教学重点
①等差数列的概念;②等差数列的通项公式
教学难点
①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程.
学情分析
我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生),经过一年的高中数学学习,大部分学生知识经验已较为丰富,他们的智力发展已到了形式运演阶段,具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力,但也有一部分学生的基础较弱,学习数学的兴趣还不是很浓,所以我在授课时注重从具体的生活实例出发,注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点,从而促进思维能力的进一步发展.
设计思路
1.教法
①启发引导法:这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点,突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性,发挥其创造性.
②分组讨论法:有利于学生进行交流,及时发现问题,解决问题,调动学生的积极性.
③讲练结合法:可以及时巩固所学内容,抓住重点,突破难点.
2.学法
引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点,推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法.
教学过程
一:创设情境,引入新课
1.从0开始,将5的倍数按从小到大的顺序排列,得到的数列是什么?
2.水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为18m,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m.那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位(单位:m)组成一个什么数列?
3.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本息计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×存期).按活期存入10000元钱,年利率是0.72%,那么按照单利,5年内各年末的本利和(单位:元)组成一个什么数列?
教师:以上三个问题中的数蕴涵着三列数.
学生:
1:0,5,10,15,20,25,….
2:18,15.5,13,10.5,8,5.5.
3:10072,10144,10216,10288,10360.
(设置意图:从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型.通过分析,由特殊到一般,激发学生学习探究知识的自主性,培养学生的归纳能力.
二:观察归纳,形成定义
①0,5,10,15,20,25,….
②18,15.5,13,10.5,8,5.5.
③10072,10144,10216,10288,10360.
思考1上述数列有什么共同特点?
思考2根据上数列的共同特点,你能给出等差数列的一般定义吗?
思考3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗?
教师:引导学生思考这三列数具有的共同特征,然后让学生抓住数列的特征,归纳得出等差数列概念.
学生:分组讨论,可能会有不同的答案:前数和后数的差符合一定规律;这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定.
教师引导归纳出:等差数列的定义;另外,教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义.
(设计意图:通过对一定数量感性材料的观察、分析,提炼出感性材料的本质属性;使学生体会到等差数列的规律和共同特点;一开始抓住:“从第二项起,每一项与它的前一项的差为同一常数”,落实对等差数列概念的准确表达.)
三:举一反三,巩固定义
1.判定下列数列是否为等差数列?若是,指出公差d.
(1)1,1,1,1,1;
(2)1,0,1,0,1;
(3)2,1,0,-1,-2;
(4)4,7,10,13,16.
教师出示题目,学生思考回答.教师订正并强调求公差应注意的问题.
注意:公差d是每一项(第2项起)与它的前一项的差,防止把被减数与减数弄颠倒,而且公差可以是正数,负数,也可以为0.
(设计意图:强化学生对等差数列“等差”特征的理解和应用).
2思考4:设数列{an}的通项公式为an=3n+1,该数列是等差数列吗?为什么?
(设计意图:强化等差数列的证明定义法)
四:利用定义,导出通项
1.已知等差数列:8,5,2,…,求第200项?
2.已知一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,如何求出它的任意项an呢?
教师出示问题,放手让学生探究,然后选择列式具有代表性的上去板演或投影展示.根据学生在课堂上的具体情况进行具体评价、引导,总结推导方法,体会归纳思想以及累加求通项的方法;让学生初步尝试处理数列问题的常用方法.
(设计意图:引导学生观察、归纳、猜想,培养学生合理的推理能力.学生在分组合作探究过程中,可能会找到多种不同的解决办法,教师要逐一点评,并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质,激发学生的创造意识.鼓励学生自主解答,培养学生运算能力)
五:应用通项,解决问题
1判断100是不是等差数列2,9,16,…的项?如果是,是第几项?
2在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求a1,d和an.
3求等差数列3,7,11,…的第4项和第10项
教师:给出问题,让学生自己操练,教师巡视学生答题情况.
学生:教师叫学生代表总结此类题型的解题思路,教师补充:已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式
(设计意图:主要是熟悉公式,使学生从中体会公式与方程之间的联系.初步认识“基本量法”求解等差数列问题.)
六:反馈练习:教材13页练习1
七:归纳总结:
1.一个定义:
等差数列的定义及定义表达式
2.一个公式:
等差数列的通项公式
3.二个应用:
定义和通项公式的应用
教师:让学生思考整理,找几个代表发言,最后教师给出补充
(设计意图:引导学生去联想本节课所涉及到的各个方面,沟通它们之间的联系,使学生能在新的高度上去重新认识和掌握基本概念,并灵活运用基本概念.)
设计反思
本设计从生活中的数列模型导入,有助于发挥学生学习的主动性,增强学生学习数列的兴趣.在探索的过程中,学生通过分析、观察,归纳出等差数列定义,然后由定义导出通项公式,强化了由具体到抽象,由特殊到一般的思维过程,有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.本节课教学采用启发方法,以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径,以相互补充展开教学,总结科学合理的知识体系,形成师生之间的良性互动,提高课堂教学效率.
高中数学优质课件篇二:《等差数列》
[教学目标]
1.知识与技能目标:掌握等差数列的概念;理解等差数列的通项公式的推导过程;了解等差数列的函数特征;能用等差数列的通项公式解决相应的一些问题。
2.过程与方法目标:让学生亲身经历“从特殊入手,研究对象的性质,再逐步扩大到一般”这一研究过程,培养他们观察、分析、归纳、推理的能力。通过阶梯性的强化练习,培养学生分析问题解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标:通过对等差数列的研究,培养学生主动探索、勇于发现的求索精神;使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。
[教学重难点]感
1.教学重点:等差数列的概念的理解,通项公式的推导及应用。
2.教学难点:(1)对等差数列中“等差”两字的把握;
(2)等差数列通项公式的推导。
[教学过程]
一.课题引入
创设情境引入课题:(这节课我们将学习一类特殊的数列,下面我们看这样一些例子)
(1)、在过去的三百多年里,人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星:
1682,1758,1834,1910,1986,()
你能预测出下次观测到哈雷慧星的大致时间吗?判断的依据是什么呢?
(2)、通常情况下,从地面到11km的高空,气温随高度的变化而变化符合一定的规律,请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。
思考:依据前面的规律,填写(3)、(4):
(3)1,4,7,10,(),16,…
(4)2,0,-2,-4,-6,(),…
它们共同的规律是?
从第二项起,每一项与前一项的差等于同一个常数。
我们把有这一特点的数列叫做等差数列。
二、新课探究
(一)等差数列的定义
1、等差数列的定义
如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d来表示。
(1)定义中的关健词有哪些?
(2)公差d是哪两个数的差?
2、等差数列定义的数学表达式:
试一试:它们是等差数列吗?
(1)1,3,5,7,9,2,4,6,8,10…
(2)5,5,5,5,5,5,…
(3)-1,-3,-5,-7,-9,…
(4)数列{an},若an+1-an=3
3、等差中顶定义
在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列:
(1)、2,(),4(2)、-12,(),0(3)a,(),b
如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项。
(二)等差数列的通项公式
探究1:等差数列的通项公式(求法一)
如果等差数列首项是,公差是,那么这个等差数列如何表示?呢?
根据等差数列的定义可得:
所以:
由此得,
因此等差数列的通项公式就是:,
探究2:等差数列的通项公式(求法二)
根据等差数列的定义可得:
……
将以上-1个式子相加得等差数列的通项公式就是:,
三、应用与探索
例1、(1)求等差数列8,5,2,…,的第20项。
(2)等差数列-5,-9,-13,…,的第几项是–401?
(2)、分析:要判断-401是不是数列的项,关键是求出通项公式,并判断是否存在正整数n,使得成立,实质上是要求方程的正整数解。
例2、在等差数列中,已知=10,=31,求首项与公差d.
解:由,得。
在应用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d过程中,对an,a1,n,d这四个变量,知道其中三个量就可以求余下的一个量,这是一种方程的思想。
巩固练习
1.等差数列{an}的前三项依次为a-6,-3a-5,-10a-1,则a=()。
A.1B.-1C.-2D.2
2.一张梯子一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列。求公差d。
四、小结
1.等差数列的通项公式:
公差;
2.等差数列的计算问题,通常知道其中三个量就可以利用通项公式an=a1+(n-1)d,求余下的一个量;
3.判断一个数列是否为等差数列只需看是否为常数即可;
4.利用从特殊到一般的思维去发现数学系规律或解决数学问题.
五、作业:
1、必做题:课本第40页习题2.2第1,3,5题
2、选做题:如何以最快的速度求:1+2+3++100=
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