2017数学高考全国3卷(解析几何的常用方法)

平方差法又称为点差法，该方法的核心是平方差公式：

在涉及圆锥曲线与弦的关系时，该公式往往具有很好的效果。而且，对于各类圆锥曲线，包括圆、椭圆、抛物线和双曲线，该方法都适用。

点差法以及由点差法推导得出的一些常用结论，属于高考数学中的高频考点，务必要重视。

以 表示椭圆上两个不同的点

两式相减可得：

当然，也可以写成：

其中， 代表弦 的中点。

解读公式

以上公式可以用文字解读如下：

这是一个重要的常用结论，也是高频考点。

真题实例

2015年的全国卷二中，直接把以上常用结论的推导过程作为考题。详见：

2015年文数全国卷B题20

还有更多考题，则是在解答过程中需要应用上述结论：

2010年文数全国卷题20

2010年理数全国卷题20

2013年文数全国卷B题20

2020年理数全国卷A题20

抛物线的方程：

因为 两点在抛物线上，所以，

，

记 中点为 ，则

或：

解读公式

以上公式可以用文字表述如下：

对于以 轴为对称轴的抛物线，以下结论成立：

（1）抛物线的弦的斜率与弦的中点的 坐标的乘积等于焦距 .

（2）同一组平行的弦（斜率相等），中点位于同一条垂直于 轴的直线上。

（3）根据抛物线的弦的斜率，可以算出弦的 坐标；反之亦然。

真题实例

2018年数学全国卷B题20

2017年理数全国卷C题20

1987年全国卷题21

抛物线的方程：

因为 两点在抛物线上，所以，

，

记 中点为 , 则

或：

解读公式

以上公式可以用文字表述如下：

解读公式

以上公式可以用文字表述如下：

对于以 轴为对称轴的抛物线，以下结论成立：

（1）抛物线的弦的斜率与弦的中点的 坐标的乘积等于焦距 .

（2）同一组平行的弦（斜率相等），中点位于同一条垂直于 轴的直线上。

（3）根据抛物线的弦的斜率，可以算出弦的 坐标；反之亦然。

真题实例

2017年文数全国卷A题20

若圆 的方程为：

两点在圆上，并记 中点为 , 则

也就是说： . 实际上是用解析的方法得出了垂径定理。

如图所示，抛物线方程为： , 为抛物线的弦. 保持弦 的斜率不变，并向左移动，则其中点 的 坐标不变，同时 三点不断地靠近，最终变为一点. 这时，直线与抛物线只有一个公共点，直线也由抛物线的弦变为切线。

换言之，如果作一条与切线平行的弦，则弦的中点的 坐标与切点的 坐标相等。

若切点坐标为 , 则

切线的方程为：

同样的道理，如果抛物线的方程为： , 则

切线的方程为：

平方差法可以发挥什么样的作用？

平方差法（点差法）的作用，概括地说，就是将弦的斜率与弦的中点坐标关联起来，可以解决的问题有好多：

（1）弦长问题

（2）求弦的中点的轨迹方程

（3）求弦的斜率范围

（4）求切线的方程

（5）定点问题

从前面的真题实例可以看出，这一方法在高考中用到的机会是很多的。

2017年全国高考哪些省是全国卷

不一样，试卷选用情况如下：

全国I卷（全国乙卷）：河南、河北、山西、安徽、湖北、湖南、江西、广东、福建、山东（注：2017年山东省仅英语、综合两科使用全国卷，语文、数学两科仍自主命题）

全国II卷（全国甲卷）：黑龙江、吉林、辽宁、内蒙古、宁夏、甘肃、新疆、青海、西藏、陕西、重庆、海南（注：2017年海南省仅语文、数学、英语三科使用全国卷，物理/政治、化学/历史、生物/地理三科仍使用教育部为其单独命题的分科试卷）

全国III卷（全国丙卷）：贵州、广西、云南、四川

自主命题：北京、天津、江苏、浙江、上海、山东（仅语文、数学两科）。

扩展资料

不得参加高考的情形：

（1）具有高等学历教育资格的高校的在校生；或已被高等学校录取并保留入学资格的学生；

（2）高级中等教育学校非应届毕业的在校生；

（3）在高级中等教育阶段非应届毕业年份以弄虚作假手段报名并违规参加普通高校招生考试（包括全国统考、省级统考和高校单独组织的招生考试）的应届毕业生；

（4）因违反国家教育考试规定，被给予暂停参加普通高校招生考试处理且在停考期内的人员；

（5）因触犯刑法已被有关部门采取强制措施或正在服刑者。

百度百科——2017年普通高等学校招生全国统一考试

全国乙卷（新课标一卷）

2015年以前使用省份：河南 河北 山西 陕西（语文及综合）湖北（综合）江西（综合）湖南（综合）

2015年增加使用省份：江西（语文 数学 英语）、山东（英语）

2016年增加省份：湖南(语文 数学 英语 综合)、湖北(语文 数学 英语)、广东、福建、安徽 、山东(综合)；取消省份：陕西

2017年增加省份：浙江（英语）

2018年高考增加使用新课标一卷省份:山东(语文，数学)

2017年使用省区：安徽、湖北、福建、湖南、山西、河北、江西、广东、河南、山东（英语及综合）

全国甲卷（新课标二卷）

2015年及其之前：贵州 甘肃 广西 青海 西藏 黑龙江 吉林 宁夏 内蒙古 新疆 云南 辽宁（综合）海南（语文 数学 英语）

2015年增加省份：辽宁 （语文 数学 英语）[5]

2016年增加省份：陕西、重庆、；取消省份：广西 云南 贵州

2017年使用省区：甘肃、青海、西藏、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、内蒙古、陕西、重庆、海南（语文、数学、英语）

全国丙卷（新课标三卷）

在2015年甲卷（全国Ⅱ卷）、乙卷（全国Ⅰ卷）的基础上，新增丙卷（全国Ⅲ卷）。

丙卷与甲卷（全国II卷）在试卷结构上相同、难度相当。

2016年，广西、贵州、云南考生将使用丙卷。其他省份还保持原来的甲卷（全国II卷）与乙卷（全国I卷）使用情况不变。

2017年增加省份：四川（数学、英语、理综）

2017年使用地区：广西、贵州、云南、四川

自主命题

01.北京市：所有科目全部自主命题

02.天津市：所有科目全部自主命题

03.上海市：所有科目全部自主命题

04.山东省：自主命题（语、数。PS：语文数学在2018将采用新课标Ⅰ卷）+新课标Ⅰ卷（综合（2016）、英），2018年开始使用全国Ⅰ卷。

05.广东省：英语听说考试由广东省自主命题(其余部分和其他科目均采用新课标Ⅰ卷);2016年起全部使用全国I卷[2]

06.江苏省：所有科目全部自主命题

07.浙江省：所有科目全部自主命题，英语听力使用全国英语等级考试二级听力;2017年起英语使用全国卷[3]

08.四川省：自主命题（数、英、理综）+新课标Ⅲ卷（语、文综），2017年起全部使用全国III卷。[6]

09.福建省：所有科目全部自主命题，英语听力使用新课标全国卷英语听力;2016年起全部使用全国I卷[2]。

10.湖北省：自主命题（语、数、英）+新课标Ⅰ卷（文综、理综）;2016年起全部使用全国I卷。[7]

11.湖南省：自主命题（语、数、英）+新课标Ⅰ卷（文综、理综）;2016年起全部使用全国I卷。

12.海南省：自主命题（政、史、地、理、化、生）+新课标Ⅱ卷（语、数、英）