高考洛必达(怎么用洛必法则解决高考参数恒成立问题)

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第○2步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。 洛必达法则简介： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) lim0xa fx 及lim0xa gx； (2)在点a

的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3) ?

lim xafxlgx， 那么 ?

lim xa fxgx?= ?

lim xa fxlgx。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)lim0xfx ? 及lim0xgx ?； (2)0A，f(x) 和g(x)在,A与,A上可导，且g'(x)≠0； (3) ?

lim xfxlgx ?， 那么 ?

limxfxgx= ?

lim xfxlgx?。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) limxa fx?及limxa gx?； (2)在点a

的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3) ?

lim xafxlgx， 那么 ?

lim xa fxgx?= ?

lim xa fxlgx。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，xa ，xa 洛必达法则也 成立。 ○ 2

洛必达法则可处理00

， ，0，1? ，0?，00，?型。 ○ 3

在着手求极限以前，首先要检查是否满足00

， ，0，1? ，0?，00，?型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这

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时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 ○ 4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 二．高考题处理 1.(2010年全国新课标理)设函数2()1xfxexax。 （1） 若0a?，求()fx的单调区间； （2） 若当0x?时()0fx?，求a的取值范围 原解：（1）0a?时，()1xfxex?，'()1xfxe. 当(,0)x?时，'()0fx?；当(0,)x?时，'()0fx?.故()fx在(,0)单调减少，在(0,)单调增加 （II）'()12xfxeax? 由（I）知1x ex，当且仅当0x?时等号成立.故 '()2(12)fxxaxax， 从而当120a

，即1 2 a? 时，'()0 (0)fxx，而(0)0f?， 于是当0x?时，()0fx?. 由1(0)x exx?可得1(0)x exx.

从而当1 2 a? 时， '()12(1)(1)(2)xxxxxfxeaeeeea?， 故当(0,ln2)xa?时，'()0fx?，而(0)0f?，于是当(0,ln2)xa?时，()0fx?. 综合得a

的取值范围为1, 2 原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解:（II）当0x?时，()0fx?，对任意实数a,均在()0fx?； 当0x?时，()0fx?

等价于2 1 x xae x ? 令 ?

2 1 x xgxe x ? (x>0),

则 3 22 ()xx xxgxeex ? ， 令 220x x hxxxxee?，则1x x hxxee，0x hxxe，

知hx?在0,上为增函数，00hxh；知hx在0,上为增函数， 00hxh；0gx?，g(x)在0,上为增函数。

由洛必达法则知， 2 0001 1 22 2lim limlimx xx xxxxxe eex ? ，

故1 2 a? 综上，知a

的取值范围为1, 2 。 2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线()yfx?在点(1,(1))f处的切线方程为 230xy?。 （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）如果当0x?，且1x?

时，ln()1xk fxxx ? ，求k的取值范围。 原解：

（Ⅰ）22 1 ( ln) '()(1)xxbxfxxx 由于直线230xy?

的斜率为12?，且过点(1,1)

，故(1)1, 1'(1),2 ff 即

1, 1,22 bab? 解得1a?，1b?。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln1 f()1xxxx ? ，所以

22 ln1(1)(1) ()()(2ln)11xkkxfxxxxxx 。 考虑函数()2lnhxx?

2(1)(1)kxx(0)x?

，则22(1)(1)2'()kxx hxx。 （i）设0k?

，由22 2 (1)(1)'()kxxhxx 知，当1x?时，'()0hx?，h（x）递减。而(1)0h?故当(0,1)x?时， ()0hx?

，可得 2 1 ()01hxx ；

当x?（1，+?）时，h（x）<0

，可得 211 x? h（x）>0 从而当x>0,且x?1时，f（x）-

（1ln?xx

+xk）>0，即f（x）

>1ln?xx

+x k . （ii）设0<k<1.由于2(1)(1)2kxx?=2(1)21kxxk的图像开口向下，且 244(1)0k?，对称轴

x= 1 11k. 当x?（1

，k?11）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故' h （x）>0,而h（1）=0，故当x?（1

，k?11）时，h（x）>0，

可得2 11 x ?h（x）0,而h（1）=0， 故当x?（1，+?）时，h（x）>0

，可得 2 11 x? h（x）<0,与题设矛盾。 综合得，k的取值范围为（-?，0] 原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解：（II）由题设可得，当0,1xx时，

k< 2 2ln11xx x恒成立。 令g

(x)= 2 2ln11xx x(0,1xx),则 ?

22221ln121xxxgxx ?， 再令 22 1ln1hxxxx(0,1xx)，则?

1 2 lnhxxx x x ，?

212ln1hxxx? ，易知?

2 1 2ln1hxxx?在0,上为增函数，且10h?；故当(0,1)x?时，0hx?，当x?（1，+?）时，0hx?； ?hx?在0,1上为减函数，在1,上为增函数；故hx?>1h?=0 ?hx在0,上为增函数 ?1h=0 ?当(0,1)x?时，0hx?，当x?（1，+?）时，0hx 当(0,1)x?时，0gx，当x?（1，+?）时，0gx ?gx在0,1上为减函数，在1,上为增函数 ? 由洛必达法则知 ?

2 1 1 1 ln1ln12121210221limlim limxxxxxxgxxx ?

0k?，即k的取值范围为（-?，0] 规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题 中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法

洛必达法则，姑且称之为高富帅法则，是洛必达的老师伯努利所创，是高等数学中一个重要的定理。

大部分学校和大部分老师都不会讲，

因为洛必达法则本身不属于高中数学的范畴

，也不属于高考的考试要求，加之涉及洛必达法则的题目大多属于压轴题，难度较大，大部分学生用不上。