2010高考全国卷1(2010年高考数学全国一卷理科第十九题)

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3、(12分) 解法一：(1)连结BD，取DC的中点G，连结BG，

由此知DG＝GC＝BG＝1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD.

又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，

所以BC⊥平面BDS，BC⊥DE.

作BK⊥EC，K为垂足．因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE.DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，

DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SB.

SB＝ ＝ ，

DE＝ ＝ ，

EB＝ ＝ ，SE＝SB－EB＝ ，

所以SE＝2EB.

(2)由SA＝ ＝ ，AB＝1，SE＝2EB，AB⊥SA，知AE＝ ＝1，又AD＝1，

故△ADE为等腰三角形．

取ED中点F，连结AF，则AF⊥DE，AF＝ ＝ .

连结FG，则FG∥EC，FG⊥DE.

所以∠AFG是二面角A—DE—C的平面角．

连结AG，AG＝ ，FG＝ ＝ ，

cos∠AFG＝ ＝－ .

所以二面角A-DE-C的大小为120°.

解法二：以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系Dxyz.

设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)．

(1) ＝(0,2，－2)，

＝(－1,1,0)．

设平面SBC的法向量为

n＝(a，b，c)，

由n⊥ ，n⊥ 得n? ＝0，n? ＝0.

故2b－2c＝0，－a＋b＝0.

令a＝1，则b＝1，c＝1，n＝(1,1,1)．

又设 ＝λ (λ＞0)，

则E( ， ， )．

＝( ， ，)， ＝(0,2,0)．

设平面CDE的法向量m＝(x，y，z)，

由m⊥ ，m⊥ ，得

m? ＝0，m? ＝0.

故 ＋ ＋ ＝0,2y＝0.

令x＝2，则m＝(2,0，－λ)．

由平面DEC⊥平面SBC得m⊥n，m?n＝0，2－λ＝0，λ＝2.

故SE＝2EB.

(2)由(1)知E( ， ， )，取DE中点F，则F( ， ， )， ＝( ，－ ，－ )，

故 ? ＝0，由此得FA⊥DE.

又 ＝(－ ， ，－ )，故 ? ＝0，由此得EC⊥DE，

向量与的夹角等于二面角ADEC的平面角．

于是cos〈 ， 〉＝ ＝－ ，

所以二面角A-DE-C的大小为120°

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